Komplex, kompliziert oder schwer?

Bedeuten viele Cuts automatisch eine hohe Komplexität?

Im Zusammenhang mit Twisty Puzzlen hört/liest man oft von deren Komplexität. Puzzle, die viele Cuts und Steine haben oder Hybride sind, gelten dabei natürlich als besonders komplex. Aber was bedeutet Komplexität überhaupt und wie unterscheidet sie sich von Kompliziertheit? Und kann man mittels dieser Begriffe eine Einordnung der Schwierigkeit von Twisty Puzzlen vornehmen?

1. Kompliziert oder komplex?

Die Kompliziertheit eines Systems ergibt sich aus drei grundsätzlichen Voraussetzungen:

  • Das betrachtete System wird von mindestens zwei oder mehr Faktoren beeinflusst.
  • Diese Faktoren sind bekannt und beherrschbar.
  • Die Faktoren stehen in einer linearen Wenn-Dann-Beziehung zueinander.

Eine Maschine wie bspw. ein Automotor ist mit ausreichend Wissen beherrschbar. Die Funktionsweisen sind – zumindest für Experten – kausal, vorhersehbar, objektiv, eindeutig beschreibbar und voller Wenn-Dann-Beziehungen. Wenn in einem Benzinmotor bspw. Zündkerzen fehlen, kann sich das Treibstoffgemisch nicht entzünden und das Auto wird nicht vorankommen. Wie sich jedoch die Fahrweise des Fahrzeugführers auf die Funktionsweise des Motors auswirkt, ist kaum vorherzusehen bzw. beherrschbar. Hier wird die Sache durch den Faktor Mensch komplex.

Von Komplexität ist die Rede, wenn

  • das System von mehreren Faktoren beeinflusst wird, die genaue Anzahl der Faktoren allerdings nicht bekannt ist.
  • nicht genau bekannt ist, wann und wie stark sich die einzelnen Faktoren auf das System auswirken.
  • die Faktoren untereinander in Wechselwirkung stehen, aber nicht genau bekannt ist, wie.

Wenn ich bei einem Fußballspiel einen Spieler aus- und einen anderen einwechsle, kann ich nicht vorhersagen, in wie fern sich das Spiel und sein Verlauf nun ändern werden. Ich kann es allenfalls vermuten. Denn Menschen lassen sich in ihrem Verhalten und ihrem Leistungsvermögen nicht präzise vorhersagen. So kann ein und derselbe Spieler heute gut performen, aber schon beim nächsten Mal komplett neben sich stehen. Je nachdem, wie er drauf ist, beeinflusst er das Spiel. Und wir müssen in diesem Kontext sogar 22 Spieler betrachten. Ein Fußballspiel ist also nicht beherrsch- oder vorhersehbar. Auch dann nicht, wenn der Trainer ein Experte ist und die Spieler weltklasse. Insofern ist Fußball hochgradig komplex.

Vereinfacht ausgedrückt lassen sich komplex und kompliziert folgendermaßen beschreiben: Was ein oder mehrere spezialisierte Experten lösen können, ist kompliziert. Was nicht einmal Top-Experten garantieren oder vorhersagen können, ist komplex.

Twisty Puzzle – egal wie viele Steine sie haben, ob sie shapeshiften, jumbeln oder was auch immer – bestehen ausschließlich aus Wenn-Dann-Beziehungen. Wenn ich die obere Ebene eines Zauberwürfels um 90° im Uhrzeigersinn drehe, kann ich präzise vorhersagen, wo jeder Stein nach der Drehung sein wird. Drehe ich die verschiedenen Ebenen des 3×3 weiter und weiter, wird es zwar zunehmend schwerer, die Stellung der Steine vorherzusehen, aber es bleibt theoretisch trotzdem möglich. Egal, wie der Cube gescrambelt wird, ich kann ihn lösen. Ich kann aber selbst mit dem kombinierten Fachwissen eines Pep Guardiola und Thomas Tuchel nicht voraussagen, wie ein Fußballspiel ausgehen wird; selbst dann nicht, wenn ich die besten Spieler der Welt in meiner Mannschaft habe.

Gerade beim Speedcubing geht es ja darum, für möglichst jede Position und Orientierung der Steine den passenden Algorithmus anzuwenden. Es sind zwar unfassbar viele Stellungen möglich, aber für jede gibt es mittlerweile passende Algorithmen. Insofern sind Twisty Puzzle sehr gut beherrschbar und alle Faktoren (Steine, Drehungen, Algorithmen) bekannt. Twisty Puzzle sind also nicht komplex, dafür aber (zum Teil) verdammt kompliziert. Und was besonders kompliziert ist, erscheint einem in aller Regel als sehr schwer.

2. Schwer

Ivy Cube vs. Gigaminx. Welches Puzzle ist schwerer?

Ich behaupte, dass mir jeder zustimmen wird, dass der Ivy Cube leichter zu lösen ist als ein Gigaminx. Aber wenn ich nach objektiven Gründen für diese Behauptung suche, die auf abstrakten Kriterien beruhen, fällt mir eine Antwort schwer. Woran mache ich es fest, dass der Ivy Cube leichter ist? Ist es die Anzahl der Steine? Die Anzahl der unterschiedlichen Steinarten? Die Anzahl der sich bewegenden Steine pro Drehung? Die Form? Die Anzahl der Algorithmen, die zur Lösung benötigt werden? Die Dauer, bis das Puzzle gelöst ist? Ob das Puzzle jumbled und/oder shapeshifted? Der Intuitionsgrad?

2.1 Dauer der Lösung

Der derzeitige Weltrekord für den 7x7x7 (single) beträgt 1:40:89; der Weltrekord für den 6x6x6 (single) beträgt 1:09:51. Wer Erfahrungen mit Big Cubes hat, weiß, dass sich diese allesamt komplett gleich lösen lassen, wobei es bei den geraden Cubes (4×4, 6×6, 8×8 usw.) Parityfälle geben kann, die das Puzzle nicht gerade leichter machen. Dass die Lösungsdauer mit zunehmender Ebenenzahl steigt, hat jedoch keinen Einfluss auf die Schwierigkeit des Puzzles. Insofern ist die Dauer einer Lösung nicht ausschlaggebend für den Schwierigkeitsgrad.

2.2 Anzahl der Steine

Hier fällt die Antwort ähnlich aus, wie bei 2.1. Ein 7x7x7 hat zwar mehr Steine als ein 6x6x6, ist aber keinesfalls schwerer. Ich würde sogar behaupten, der 7×7 ist leichter, weil er ein festes Center und keine Parity hat. Ich muss also zunächst das passende Farbschema finden und am Ende ggf. eine zusätzliche Lösung für die Parity finden.

2.3 Parity

Parity beim F-Skewb und 4x4x4.

Parity ist ein Sonderfall, der auftreten kann, wenn Puzzle keine festen Center oder vergleichbare feste Orientierungspunkte haben. So kann etwa der 4x4x4 ein einzelnes falsch orientiertes Kantenpaar haben, oder ein F-Skewb eine einzelne verdrehte Ecke. Allerdings ist es nicht zwingend, dass ein Parityfall auch tatsächlich auftritt. Würde man einen geraden Big Cube nicht zu einem 3x3x3 reduzieren, sondern zu einem 2x2x2, würde es gar nicht erst zu einer Parity kommen. Löst man beim F-Skewb zuerst die Ecksteine, tritt ebenfalls kein Parityfall auf. Parity lässt sich mit bestimmten Lösungswegen also komplett vermeiden und fällt daher als Schwierigkeitsmaßstab weg.

2.4 Anzahl (beweglicher) Steinarten

Obwohl der Flower Copter (l.) mehr bewegliche Steinarten hat als der Curvy Copter Plus (beim Curvy Copter Plus sind die Kantensteine fest, während sie beim Flower Copter wie Dinosteine permutiert werden können), ist er als Hybrid leichter zu lösen, wenn man weiß, wie ein Curvy Copter und Dino Cube gelöst werden.

Ein Ivy Cube besteht aus vier Ecksteinen, die lediglich rotieren, aber nicht Ihre Position verlassen und aus sechs Centersteinen, die frei beweglich sind. Ein Gigaminx besteht aus Eck-, Kanten- und Centersteinen, wobei letztere sich auch noch gesondert unterscheiden ließen. Bis auf die fünfeckigen Center sind alle Steine permutierbar. Die Anzahl der (beweglichen) Steinarten ist beim Gigaminx also höher als beim Ivy Cube. Hier könnte man einen Zusammenhang zum Schwierigkeitslevel vermuten. Allerding hat etwa der 2x2x2 lediglich eine Steinart, ist aber ebenfalls schwerer als der Ivy Cube.

In der Regel haben vor allem Hybride mehr Steinarten als klassische Puzzle. Wenn man jedoch die einzelnen Komponenten des Hybriden beherrscht und lösen kann, fällt auch die Lösung des Hybriden recht leicht.

2.5 Schnitttiefe

Curvy Copter und Curvy Copter II (hinten) sowie Rex und Dino Cube.

Betrachten wir die Tiefe von Cubecuts kann man den Eindruck gewinnen, dass tiefere Einschnitte auch ein höheres Schwierigkeitslevel bedeuten, weil sich dadurch pro Drehung mehr Steine bewegen. Ein gutes Beispiel für diese These liefern Dino und Rex Cube. Vertieft man die Einschnitte bei einem Dino, überschneiden sich die Linien und es entstehen pro Seite fünf weitere Steine. Zweifellos ist der Rex Cube der schwierigere der beiden Dinosaurier. Ähnlich verhält es sich, wenn man beim Curvy Copter tiefere Schnitte ansetzt. Dabei heraus kommt der Curvy Copter III.

Oft sagen Leute, die ein Tutorial dazu angesehen haben, der Skewb sei ein leichtes Puzzle.* Natürlich empfindet man Rätsel als leicht, deren Lösung man kennt. Die Schwierigkeit ergibt sich aber daraus, ob man in der Lage ist, den Lösungsweg (alleine) zu finden. Wenn ich nicht in der Lage bin, ein Puzzle selbst zu lösen, kann ich es für mich auch nicht als leicht bezeichnen. Obwohl ich eigenständig Lösungen für den Skewb gefunden habe, empfinde ich ihn dennoch als ziemlich schwer, denn mit jeder Drehung bewegen sich 50% des Puzzles, wobei alle sechs Seiten beeinflusst werden.

Bei einem Zauberwürfel bewegen sich demgegenüber lediglich etwa 31% der Steine; wird die Orientierung des Centers mit berücksichtigt, sind es 35%. Weil pro Drehung nur fünf der sechs Seiten beeinflusst werden, ist es möglich, gewisse Steine abseits des Drehgeschehens „zwischenzuparken“, um Permutierungen durchzuführen. Bei einem Skewb ist das so nicht möglich. Trotzdem wird der 3x3x3 gemeinhin als schwerer erachtet als der Skewb. Unpopular opinion: Ich finde beide ungefähr gleich schwer.

Skewb, Bauhinia II und Zauberwürfel.

Es gibt neben dem 3x3x3 noch zahllose weitere Puzzle, bei denen sich nur eine prozentual geringe Menge an Steinen bewegt und dabei einen (subjektiv) höheren Schwierigkeitsgrad haben als der Skewb. Solch ein Beispiel ist der Bauhinia II. Dieser ist eine Shapemodifikation des Radiolarian 3 welcher eng mit dem Eitan’s Star verwandt ist. Letzterer gilt gemeinhin als das schwerste aller massenproduzierten Twisty Puzzle. Also auch hier lässt sich keine allgemeingültige Aussage darüber treffen, ob die Schnitttiefe ein Puzzle schwerer oder leichter macht.

2.6 Shapeshifting

Ghost Cube und Mirror Bump jeweils im Schachbrettmuster.

Ein 3x3x3 Mirror Bump ist beim ersten Versuch sicherlich eine Herausforderung, weil die gewohnten Orientierungspunkte nicht mehr Farben sondern Formen sind. Allerdings ändert sich nichts an der Lösung. Nimmt man hingegen einen Ghost Cube, sieht die Sache etwas anders aus. Hier ist es aufgrund der einzigartigen Form eines jeden Steins und der Tatsache, dass der Würfel Off-Center gelöst wird, unglaublich schwierig, einen Orientierungspunkt zu finden. Trotzdem ist es nur eine Modifikation eines bekannten Puzzles und die Lösung bleibt abgesehen von der Centerorientierungen ebenfalls gleich. Durch das Shapeshifting werden keine Drehungen blockiert, sondern allenfalls die Wahrnehmung beeinträchtigt. Ob dieser Umstand allein ein Puzzle schwer(er) macht, darf bezweifelt werden. Zumal man über das mehrfache Lösen die einzelnen Steine besser erkennt und der Schwierigkeitsgrad dadurch sinkt.

2.7 Jumbling

Der Star Pyraminx von LanLan (reiner Jumbler) umgeben von Mitgliedern der Copterfamilie. Ich vermag es (noch) nicht, ihn zu lösen.

Über eine allgemeingültige Definition des Jumbling wird noch debattiert, daher unterlasse ich es, den Begriff genau zu beschreiben. Grundsätzlich lässt sich aber sagen, dass Jumbling dazu führt, dass gewisse Bewegungsmöglichkeiten beim Puzzle blockiert bzw. gebandaged werden, was in der Regel auch mit Shapeshifting einher geht. Zudem kann man mittels Jumblingmanöver Steine aus ihren Orbits bewegen. Dies hat bei Puzzlen wie dem Curvy Copter zur Folge, dass man es nicht lösen kann, wenn man nur die Standarddrehungen ausführt. Stattdessen müssen erneut Jumblingmanöver angewandt werden. Das Jumbeln ist eine Art Anomalie bei klassischen Drehpuzzlen und stellt somit einen außergewöhnlichen Aspekt im Rahmen der Lösung dar. Es gibt sogar Puzzle, die reine Jumbler sind; wo also jede Drehung Jumbling bedeutet. Ich selbst komme zwar mit dem Jumbling bei den Helikoptern ganz gut klar, habe aber mit den reinen Jumblern arge Probleme. Ich bin noch dabei, die Besonderheiten dieser Spezies zu ergründen. Das bedeutet jedoch nicht, dass (reine) Jumbler oder bandaged Puzzle schwerer sind als herkömmliche Puzzle. Ähnlich wie bei Cuboids sind sie nur „anders“.

Gejumbelter Gem II und Bauhinia neben dem Curvy Copter.

Es gibt auch Vertreter, die trotz Jumbling keinerlei Schwierigkeiten bereiten. Hier lassen sich etwa der Bauhinia oder der Gem II aufführen. Beide jumbeln, aber für die Lösung hat das keinerlei Konsequenzen. Das gleiche gilt für den Flower Copter. Da er wie der Gem II ein Hybrid ist, kann man die Steine auch mit nicht-Jumblingmanövern zwischen den Orbits wechseln lassen.

2.8 Intuitionsgrad und Anzahl der Algorithmen

Ich versuche bei jedem Puzzle, möglichst viel intuitiv zu lösen, damit ich wenige Algorithmen finden und anwenden muss. Je mehr ich intuitiv lösen kann, desto leichter empfinde ich das Puzzle. Nun könnte man aber darüber streiten, was eigentlich intuitives Lösen bedeutet. Ein Sledgehammer ist für mich intuitiv, weil es die Urform eines Threecycles ist und keiner großen Gehirnakrobatik bedarf. Ich löse damit u.a. den Pyraminx, den Ivy Cube, alle Cubes der Dinofamilie sowie den Gem II und so ziemlich alle Kantensteine bei anderen Puzzles. Trotzdem ist und bleibt der Sledgehammer ein Algorithmus. Durch mein Vorwissen vermag ich es, diesen Algorithmus intuitiv abzuspulen. So geht es auch erfahrenen Speedcubern, die über Muscle Memory und Look Ahead Algorithmen sofort intuitiv anwenden können. Auch hier ist es aber erworbenes Wissen, dass über Zeit erst zur Intuition wurde.

Gleichzeitig ist die Anzahl der für eine Lösung notwendigen Algorithmen ein ungeeigneter Maßstab, denn man kann einen Zauberwürfel je nach Methode mit drei Algorithmen lösen oder mit sechs, sieben, acht, … An dem Schwierigkeitsgrad des Puzzles ändert das freilich nichts.

3. Fazit

Natürlich gibt es Puzzle, die objektiv so leicht sind, dass man sie zufällig lösen kann, wenn man sie nur oft genug dreht. In diese Rubrik fällt für mich der Ivy Cube. Demgegenüber ist es faktisch unmöglich, einen gemischten Gigaminx zufällig zu lösen. Dazu sind gezielte Schritte notwendig, die zu finden alles andere als ein Kinderspiel ist. Trotzdem sind diese beiden Beispiele nicht ausreichend, um ein objektives Ranking nach Schwierigkeitsgrad für Twisty Puzzle vorzunehmen. Die behandelten Kriterien sind allenfalls tauglich, um den Schwierigkeitsgrad zwischen Puzzlen derselben „Familie“ zu bestimmen. So könnte man etwa sagen, der Curvy Copter III ist schwerer als der Curvy Copter, weil er durch die Rex Cuts nicht nur mehr Teile hat, sondern dadurch auch einen neuen Lösungsaspekt mitbringt. Aber wie wir gesehen haben, sind weder die Anzahl der Teile (vgl. 2.2), noch die unterschiedlichen Lösungsaspekte (vgl. 2.7 und 2.8) geeignete Bewertungskriterien. Insofern bleibt es schon fraglich, ob der Curvy Copter III tatsächlich schwerer ist als der Curvy Copter. Ich habe bspw. länger gebraucht, Algorithmen für die Ecksteine des Curvy Copter zu finden, als eine Lösung für die Rexsteine des Curvy Copter III. Diese erschloss sich mir tatsächlich sofort.

Familienübergreifend (z.B. Helikopter vs. Skewb) ist eine klare Einteilung nach Schwierigkeitsgrad noch weniger möglich. Dabei ist schon die Kategorisierung nach Puzzlefamilien schwierig. So gibt es Face-, Corner- und Edgeturner. Innerhalb jeder Gruppe gibt es Vertreter mit Jumbling und/oder Shapeshifting. Dann wiederum gibt es Hybride, die Elemente mehrerer Familien in sich vereinen. Bei Puzzlen wie dem Pyraminx ist nicht mal klar, ob sie Corner- oder Faceturner sind.

Jeder empfindet anders darüber, was schwer ist und was nicht. Das eigene Schwierigkeitsempfinden verändert sich sogar je nach Erfahrungswerten (vgl. 2.6). Würde man einem Beginner sogleich einen 7x7x7 in die Hand drücken, würde er sicherlich maßlos überfordert sein, diesen zu lösen. Wenn man jedoch den 3x3x3 beherrscht und das Prinzip der Reduktionsmethode versteht, wirkt dieses Puzzle plötzlich gar nicht mehr so anspruchsvoll. Ich selbst ändere ständig meine Einschätzung darüber, wie schwer ein Puzzle ist. Heute vergebe ich für den Skewb eine 6,5/10 (1 = sehr leicht; 10 = sehr schwer), morgen vergebe ich vielleicht eine 7/10. Auf meiner Skala bewegt sich der klassische Zauberwürfel ebenfalls bei 7/10, während der Ghost Cube eine 8/10 bekommt. Aber wie gesagt: das ist rein subjektiv und ich kann es nicht begründen.

* Dieselben Leute behaupten, der Megaminx sei schwerer als der Zauberwürfel, obwohl sich beide identisch lösen lassen.

2 Kommentare zu „Komplex, kompliziert oder schwer?“

  1. Das ist wirklich eine sehr gute Zusammenfassung. Eigentlich würde es mir den Antrieb geben, längst beiseite gestellte Puzzles wieder hervorzukramern. Von einem weiß ich, dass es halbfertig rumsteht, weil ich eine Teileart gelöst bekommen hatte, aber dann davon nichts mehr „kaputt“ machen wollte.
    Ich habe einfach zuviele verschiedene Themen im Kopf herumspuken, das Erforschen der Puzzles ist dabei leider ins Hintertreffen gekommen. Immerhin kann ich mich dann nicht vor mir selbst blamieren, wenn ich es nicht schnell genug hinbekomme. Ich bin da auch ziemlich ungeduldig.

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  2. Sehr guter Artikel. Interessant, wie viele Aspekte da mit hineinspielen, und dass es keine fertige „Formel“ gibt. Zur Bestimmung des Schwierigkeitsgrades schlage ich daher folgendes Verfahren vor:
    100 Cuber kommen jeweils für ein paar Stunden oder Wochen in eine eigene Klosterzelle mit dem zu bewertenden Puzzle. Die Durchschnittszeit (Avg100) bestimmt den Schwierigkeitsgrad. Damit sich alle gut bemühen, gibt es nix zu essen. 😉
    Problem nur: Die 100 Cuber lernen ja dazu. Also ist die Lösungszeit beim dritten Copter nicht zu vergleichen mit der beim ersten Cube aus der Copter-Familie. Also müssen wir jedes Mal 100 andere Cuber nehmen (oder nehmen wir gar Non-Cuber wegen der besseren Vergleichbarkeit?), oder wir müssen die 100 nach jedem erfolgreichen Durchgang blitzdingsen. 🙂

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